Hertzův tlak

Hertzův tlak (neboli styčný tlak ev. kontaktní pnutí) je tlak, který vzniká v místě vzájemného silového působení dvou těles s definovaným zakřivením povrchu. Svůj název nese po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi, který řešení této úlohy (formulované jako tzv. Hertzův model) publikoval v roce 1882.

Hertzův model je založen na těchto předpokladech:

• Rozměr stykové plošky je podstatně menší než poloměry křivosti dotýkajících se těles
• Všechna vzniklá napětí jsou menší, než meze pružnosti těles
• Na stykové ploše je nulové tření i adheze

V obecném zadání figurují parametry dotýkajících se těles (těleso 1 a těleso 2):

• hlavní křivosti – menší ${\displaystyle k_{a}}$ a větší ${\displaystyle k_{b}}$ (kde ${\displaystyle k={\frac {1}{r}}}$), což jsou navzájem kolmé největší a nejmenší křivosti ve stykovém bodě.
  U těles vydutých (střed křivosti plochy leží mimo těleso) má křivost zápornou hodnotu ${\displaystyle -k}$.
• úhel natočení – ${\displaystyle \phi }$ úhel mezi rovinami křivosti ${\displaystyle k_{1a}}$ a ${\displaystyle k_{2a}}$
  Pokud je jedním z těles koule, pak je ${\displaystyle k_{a}=k_{b}=k}$ a ${\displaystyle \phi =0}$
• moduly pružnosti materiálů těles – ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{2}}$
• Poissonova čísla materiálů těles – ${\displaystyle \nu _{1}}$ a ${\displaystyle \nu _{2}}$

Odvození velikosti tlaku ve styčné ploše vychází z deformačních podmínek tuhých těles, kdy se nejprve stanoví velikost a tvar stykové plochy, jimž je obecně elipsa. Průběh tlaku na stykové ploše je parabolický (pokud nepřekročí mez pružnosti jednoho z materiálů), což vychází z průběhu deformace radiusu povrchu. Maximální tlak vyvozený silou ${\displaystyle F}$ se nachází uprostřed dotykové elipsy a má velikost^[1]

${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi ab}}}$  , kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou rozměry poloos dotykové elipsy:

${\displaystyle a=\alpha \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}$
${\displaystyle b=\beta \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}$

V těchto formulích je hodnota činitelů
${\displaystyle m={\frac {4}{k_{1a}+k_{1b}+k_{2a}+k_{2b}}}}$
${\displaystyle n={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {E}{(1-\nu ^{2})}}}$   pro ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$ a  ${\displaystyle \nu _{1}=\nu _{2}=\nu }$

Konstanty ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou definovány v tabulce podle úhlového parametru ${\displaystyle \theta }$, který se vypočte jako ${\displaystyle \theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {m}{4}}\cdot {\sqrt {(k_{1a}-k_{1b})^{2}+(k_{2a}-k_{2b})^{2}+2\cdot (k_{1a}-k_{1b})\cdot (k_{2a}-k_{2b})\cdot \cos {2\phi }}}\right)}$

Konstanty pro výpočet poloos dotykové elipsy^[1]

${\displaystyle \theta }$	20°	30°	35°	40°	45°	50°	55°	60°	65°	70°	75°	80°	85°	90°
${\displaystyle \alpha }$	3,778	2,731	2,397	2,136	1,926	1,754	1,611	1,486	1,378	1,284	1,202	1,128	1,061	1,00
${\displaystyle \beta }$	0,408	0,493	0,530	0,567	0,604	0,641	0,678	0,717	0,759	0,802	0,846	0,893	0,944	1,00

Případy se zcela obecným zadáním jsou v praxi velice ojedinělé a přibližuje se k nim například odvalování kuličky v rádiusové drážce valivého ložiska.

V typických případech figurují obvykle koule, válec a rovina.
Pro zjednodušení lze brát ${\displaystyle \nu _{1}=\nu _{2}=0,3}$

V tomto případě je styková plocha kruhová (${\displaystyle r_{1a}=r_{1b}={\frac {d_{1}}{2}}}$ a ${\displaystyle r_{2a}=r_{2b}={\frac {d_{2}}{2}}}$) a její poloměr je ${\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}}$
Přiblížení středů koulí je ${\displaystyle \delta =0,97\cdot {\sqrt[{3}]{F^{2}\cdot \left({\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}}}$

Rovina je v podstatě koule o nekonečném poloměru, tudíž ${\displaystyle {\frac {1}{d_{2}}}=0}$ a pak je poloměr stykové plochy ${\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}}$

V případě shodných materiálů koule i podložky (${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$) dostaneme vztahy:

${\displaystyle a=0,88\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fd}{E}}}}$ ;   ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=0,62\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {FE^{2}}{d^{2}}}}}$ ;  ${\displaystyle \delta =1,54\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {F^{2}}{E^{2}d}}}}$

Pro kalenou ocelovou kouli na kalené ocelové rovině lze použít pro určení dovolené zátěže při maximálním dovoleném tlaku ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=3700MPa}$
přibližný vzoreček: ${\displaystyle F_{dov}=500\cdot d^{2}}$   pro F v [N] a d v [cm].^[1]

Styková plocha má tvar obdélníka o šířce b, takže

${\displaystyle b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}}$ , kde ${\displaystyle q={\frac {F}{l}}}$ je zatížení vztažené na jednotku délky

Maximální tlak pak je:  ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}}$

V tomto případě platí ${\displaystyle b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}}$

Maximální tlak pak je:  ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}}$

V případě shodných materiálů válce i podložky (${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$) dostaneme vztahy:

${\displaystyle b=2,15\cdot {\sqrt {\frac {qd}{E}}}}$ ;   ${\displaystyle p_{\mathrm {max} }=0,591\cdot {\sqrt {\frac {qE}{d}}}}$ ;  ${\displaystyle \delta =0,58\cdot {\frac {q}{E}}\cdot \left({\frac {1}{3}}+\ln {\frac {2d}{b}}\right)}$

Při předběžném návrhu mostních ložisek lze použít zjednodušený vzoreček ${\displaystyle q=500\cdot d}$   pro q v [N/cm] a d v [cm].^[1]

V literatuře se vyskytují i poněkud odlišné vzorce. Je to jednak použitím jiné úpravy konstant a jednak použitím
tzv. redukovaného modulu pružnosti ${\displaystyle {\frac {1}{E_{red}}}={\frac {1-{\nu }_{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-{\nu }_{2}^{2}}{E_{2}}}}$
a tzv. ekvivalentního rádiusu ${\displaystyle {\frac {1}{r_{e}}}={\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}$

Zohledňují vliv adheze:

• Bradleyův model
• Model pružného kontaktu Johnson-Kendall-Roberts (JKR)
• Model pružného kontaktu Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)
• Taborův parametr – spojuje modely JKR a DMT
• Model pružného kontaktu Maugis-Dugdale
• Model Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

– dle odstavce „Adhesive contact between elastic bodies“ v článku „Contact mechanics“ na anglické Wikipedii