Harmonická řada

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

${\displaystyle \left({1 \over n}\right)_{n=1}^{\infty }=1,\ {1 \over 2},\ {1 \over 3},\ \dots }$.

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{1 \over n}=0}$, řada diverguje (její součet je plus nekonečno),

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty .}$

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

${\displaystyle s_{2^{n}}=\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}\geq 1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+...+({\frac {1}{2^{n}}}+...+{\frac {1}{2^{n}}})=1+{\frac {n}{2}}.}$

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro ${\displaystyle m=2^{n}}$ tedy platí

${\displaystyle s_{m}\geq 1+{1 \over 2}\log _{2}m.}$

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n+1}\!{1 \over x}\,dx=\ln(n+1).}$

Přesněji platí zajímavý vztah

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\gamma ,}$

kde ${\displaystyle \gamma }$ je Eulerova konstanta.

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

${\displaystyle H_{n}=s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$a ${\displaystyle H_{6}(=2{,}45)}$.

• Řada
• Harmonická posloupnost
• Harmonický průměr

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Harmonická řada na Wikimedia Commons

• JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974.
• JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.