Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).
Definice
Ať X a Y jsou množiny. Ať
a
. Pak
nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:
![{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {A}}(A_{1})\supseteq {\mathcal {A}}(A_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60a236f0b9c6c0d6211b1f20589ccf075f639cd)
![{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\in {\mathcal {P}}(Y)\Rightarrow {\mathcal {B}}(B_{1})\supseteq {\mathcal {B}}(B_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737113530f30fd7a8b9630a5d86ba04c052e0744)
pro ![{\displaystyle \forall A\in X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5558017508b3e1403922aecf8ad871232d1272)
pro ![{\displaystyle \forall B\in Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fee16783b49139b24206d3c4d89055393a46b5)
Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:
Buď
. Definujeme zobrazení
takto:
![{\displaystyle A\longmapsto A^{\rightarrow }=\lbrace b\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall a\in A\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14ce6d4766d92f7d06e25a1ee27837f28f956d1)
.
Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence[ujasnit] vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.
Vlastnosti
Je-li
Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí:
pro
a symetricky
pro ![{\displaystyle \forall B\in Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fee16783b49139b24206d3c4d89055393a46b5)
- Složená zobrazení
a
jsou uzávěrovými operátory na X a Y. - Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce
a
množin
a
.
Příklady
Algebraická geometrie
Korespondence
mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami
kde
je těleso, a ideály okruhu polynomů
, taková, že
![{\displaystyle \mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c551d5d9f1d59c6c19869f192b8be1cb50641d6)
.
S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.
Univerzální algebra
V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:
Nechť
je množina všech
-algeber,
je množina všech
-identit,
je relace taková, že
. Pak dvojice zobrazení
a
, kde
a
, je Galoisovou korespondencí indukovanou relací
.
Máme-li nějakou množinu
, označíme
množinu všech operací na
,
množinu všech relací na
a nechť je
kompatibilita, tj.
je kompatibilní s
. Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny
nazýváme invariantem F a značíme
, obraz
nazýváme polymorfismy
a značíme
.
Literatura
- Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012.
- Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.