Eulerova rovnice

Eulerova rovnice (anglicky Cauchy–Euler equation) je obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu tvaru

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}x^{n-2}y^{(n-2)}+...+a_{2}x^{2}y^{\prime \prime }+a_{1}xy^{\prime }+a_{0}y=0}$,

kde ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n-1}}$ jsou konstanty.

Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí ${\displaystyle x=\mathrm {e} ^{t}}$ převést na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru ${\displaystyle y=x^{m}}$^[1].

Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:^[1]

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0.\,}$

Zkoušíme řešení tvaru^[1]

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

Zderivováním dostaneme:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=mx^{m-1}\,}$

a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$

Dosadíme do původní rovnice:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

A upravíme na:

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:

• Případ 1: Dva různé reálné kořeny m₁ a m₂
• Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m
• Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi

V případě 1 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

V případě 2 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = x^m použít metodu redukce řádu.

V případě 3 má Eulerova rovnice řešení

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

Pro ${\displaystyle c_{1}\,}$ a ${\displaystyle c_{2}\,}$ v reálné rovině

Tento tvar řešení odvodíme položením x = e^t a použitím Eulerova vzorce.

V rovnici

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0\,}$

provedeme substituci proměnné definovanou vztahem

${\displaystyle t=\ln(x).\,}$

${\displaystyle y(x)=\phi (\ln(x))=\phi (t).\,}$

Po zderivování:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}{\bigg )}.}$

Substituce ${\displaystyle \phi (t)}$ dává

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}+(a-1){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}+b\phi =0.\,}$

Tato rovnice pro ${\displaystyle \phi (t)}$ může být snadno vyřešena pomocí svého charakteristického polynomu

${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$

Nyní jestliže ${\displaystyle \lambda _{1}}$ a ${\displaystyle \lambda _{2}}$ jsou kořeny tohoto polynomu, rozlišujeme dva hlavní případy: různé kořeny a dvojité kořeny:

Jestliže má rovnice různé kořeny, obecné řešení je dáno vztahem

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}$, kde exponenciální funkce mohou být komplexní.

Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$

V obou případech lze řešení ${\displaystyle y(x)}$ nalézt tak, že položíme ${\displaystyle t=\ln(x)}$, tedy ${\displaystyle \phi (\ln(x))=y(x)}$.

To dává v prvním případě

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$,

ve druhém případě

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$

Řešíme rovnici

${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$

nahradíme jednoduché řešení x^α:

${\displaystyle x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha x^{\alpha -1})+3x^{\alpha }=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }=(\alpha ^{2}-4\alpha +3)x^{\alpha }=0\,.}$

Aby x^α bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u x^α je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$

Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích. Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒ_m(n) jako

${\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1)={\frac {(n+m-1)!}{(n-1)!}}}$

Použitím diferenčního operátoru na ${\displaystyle f_{m}}$ dostaneme, že

${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}$

Jestliže tento postup opakujeme k-krát, dostaneme

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}$

kde horní index ^(k) znamená k-násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k-tá derivace x^m se rovná

${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}$

nabízí možnost řešit diferenční rovnice N-tého řádu

${\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}$

podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení

${\displaystyle y(n)=f_{m}(n)\,}$

dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice

${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\cdots +a_{1}m+a_{0}=0.}$

Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N-tého řádu je také lineární kombinací N lineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m₁ dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}$

(Srovnejte s: ${\displaystyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {1}{t-m_{1}}}\,\mathrm {d} t.}$)

Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:

${\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}$

což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy–Euler equation na anglické Wikipedii.

• Cauchy-Euler equation Weisstein, Eric W, na webu Mathworld

• Hypergeometrická diferenciální rovnice
• Cauchyův–Eulerův operátor
• Diferenciální rovnice
• Variační počet

• Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu (pdf): http://is.muni.cz/…/DP_orig.pdf