Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí převést na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru [1].
Rovnice druhého řádu
Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro případ dvou reálných kořenůTypické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro dvojnásobný kořenTypické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro vícenásobné kořeny
Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:[1]
Řešení pomocí zkušebních řešení
Zkoušíme řešení tvaru[1]
Zderivováním dostaneme:
a
Dosadíme do původní rovnice:
A upravíme na:
Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:
Případ 1: Dva různé reálné kořeny m1 a m2
Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m
Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi
V případě 1 má Eulerova rovnice řešení
V případě 2 má Eulerova rovnice řešení
Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = xm použít metodu redukce řádu.
V případě 3 má Eulerova rovnice řešení
Pro a v reálné rovině
Tento tvar řešení odvodíme položením x = et a použitím Eulerova vzorce.
Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem
V obou případech lze řešení nalézt tak, že položíme , tedy .
To dává v prvním případě
,
ve druhém případě
Příklad
Řešíme rovnici
nahradíme jednoduché řešení xα:
Aby xα bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u xα je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto
Obdoba v diferenčních rovnicích
Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích. Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒm(n) jako
Použitím diferenčního operátoru na dostaneme, že
Jestliže tento postup opakujeme k-krát, dostaneme
kde horní index (k) znamená k-násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k-tá derivace xm se rovná
nabízí možnost řešit diferenční rovnice N-tého řádu
podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení
dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice
Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N-tého řádu je také lineární kombinací Nlineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m1 dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,
(Srovnejte s: )
Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:
což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy–Euler equation na anglické Wikipedii.