Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu
polynomem
, kde stupeň
je stejný nebo menší než stupeň
. Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.
Mějme dva polynomy
a
, kde
je nenulový. Pak existují polynomy
a
takové, že
a
.
Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu
se říká částečný podíl, polynom
je zbytek při dělení polynomu
polynomem
[1].
Stupeň polynomu
Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu
takovému, že
je nenulové. Stupeň polynomu
značíme
[1].
Algoritmus dělení polynomů
Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.
Ukažme si například, že
![{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b18c9c014d092e65d75d530fd8e939b291b349)
Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:
1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d61e8a2848ecd5b2c1fee007e1a43059b95fb3f)
2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04906f2a92561d91a598ed35d3711d0b37bb2ee5)
3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e33b911eeeebc247583ae510aac39c5ae26e87)
4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ee29f6cc9ab20834a5b1caf71e7bb588793719)
5. Opakujeme krok 4.
![{\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83209538be9d3a25b593169bda6f5668beaefc5)
6. Algoritmus zde končí.
Znamená to, že polynom
je částečný podíl a
je zbytek po dělení[2].
Dělitelnost polynomů
Jestliže zbytek při dělení polynomu
polynomem
je nulový polynom, říkáme, že polynom
dělí polynom
, nebo že polynom
je dělitelný polynomem
, nebo také, že polynom
je dělitelem polynomu
[1].
Kořen polynomu
Prvek
se nazývá kořen polynomu
, jestliže platí
. Prvek a je kořenem polynomu
právě tehdy, když polynom
dělí polynom
[1].
Praktické použití
Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.
Reference
- ↑ a b c d DEMLOVÁ, Marie. Algebra pro VT. math.feld.cvut.cz. S. 16. Dostupné v archivu pořízeném dne 2019-01-07. Archivováno 7. 1. 2019 na Wayback Machine.
- ↑ Dělení mnohočlenů mnohočlenem. matematika.cz [online]. [cit. 2019-01-07]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2019-01-07.
Portály: Matematika