Afinní konexe

Afinní konexe je geometrický objekt na hladké varietě, který spojuje okolní tečné prostory. Pojem afinní konexe má své kořeny v geometrii 19. století a tenzorových počtech, ale nebyl plně rozvinutý až do roku 1920, kdy jej popsali Élie Cartan (jako součást jeho obecné teorie konexí) a Hermann Weyl (který používal tento pojem, jako součást jeho základů pro obecnou teorii relativity).

Definice

Nechť M je hladká varieta a C∞(M,TM) je prostor vektorových polí na M, která je prostorem hladké sekce tečného bandlu TM. Potom afinní konexe na M je a bilineární zobrazení:

C ∞ ( M , T M ) × C ∞ ( M , T M ) → C ∞ ( M , T M ) ( X , Y ) ↦ ∇ X Y , {\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}}

taková, že pro všechny hladké funkce f v C∞(M,R) a všechna vektorová pole X, Y na M:

  1. ∇ f X Y = f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y} , to znamená, že ∇ {\displaystyle \nabla } je C∞(M,R)-lineární v první proměnné;
  2. ∇ X ( f Y ) = d f ( X ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y} , to znamená, že ∇ {\displaystyle \nabla } splňuje Leibnizovo pravidlo ve druhé proměnné.


Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.