Číselná struktura

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura jejímž nosičem je číselná množina. Na této množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Tvoří se od nejjednodušších k složitějším, jednodušší struktury jsou vnořeny do těch složitějších.

N → Z → Q → R → C → … {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \ldots }

Konstrukce

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a nakonec je určen způsob jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

  • ( ∀ x ) x = x {\displaystyle (\forall x)x=x}
  • ( ∀ x , y ) x = y ⇔ y = x {\displaystyle (\forall x,y)x=y\Leftrightarrow y=x}
  • ( ∀ x , y , z ) x = y ∧ y = z ⇒ x = z {\displaystyle (\forall x,y,z)x=y\land y=z\Rightarrow x=z}
  • ( ∀ x ∃ ! y ) y = x ′ {\displaystyle (\forall x\exists !y)y=x'}
  • ( ∀ x , y ∃ ! z ) z = x + y {\displaystyle (\forall x,y\exists !z)z=x+y}
  • ( ∀ x , y ∃ ! z ) z = x ⋅ y {\displaystyle (\forall x,y\exists !z)z=x\cdot y}
  • ( ∀ x , y ) x = y ⇔ x ′ = y ′ {\displaystyle (\forall x,y)x=y\Leftrightarrow x'=y'}
  • ( ∀ p , q , x , y ) x = y ∧ p = q ⇔ x + p = y + q {\displaystyle (\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x+p=y+q}
  • ( ∀ p , q , x , y ) x = y ∧ p = q ⇔ x ⋅ p = y ⋅ q {\displaystyle (\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x\cdot p=y\cdot q}
  • ( ∃ x ∀ y ) y ′ ≠ x {\displaystyle (\exists x\forall y)y'\not =x}
  • ( ∀ x , y ) x ′ = y ′ ⇒ x = y {\displaystyle (\forall x,y)x'=y'\Rightarrow x=y}
  • ( ∀ x ) x + 0 = x {\displaystyle (\forall x)x+0=x}
  • ( ∀ x ) x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle (\forall x)x\cdot 0=0}
  • ( ∀ x , y ) x + y ′ = ( x + y ) ′ {\displaystyle (\forall x,y)x+y'=(x+y)'}
  • ( ∀ x , y ) x ⋅ y ′ = ( x ⋅ y ) + x {\displaystyle (\forall x,y)x\cdot y'=(x\cdot y)+x}
  • Nechť ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak ϕ ( 0 ) ∧ ( ∀ x ) ( ϕ ( x ) ⇒ ϕ ( x ′ ) ) ⇒ ( ∀ x ) ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (0)\land (\forall x)(\phi (x)\Rightarrow \phi (x'))\Rightarrow (\forall x)\phi (x)} je axiom.

Celá čísla

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
  • Ekvivalence: [ x , y ] ≈ [ u , v ] ⇔ x + v = y + u {\displaystyle [x,y]\approx [u,v]\Leftrightarrow x+v=y+u}
  • Rozklad na třídy ekvivalence T: Z = N × N / ≈ {\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \times \mathbb {N} /\approx }
  • Sčítání: T [ x , y ] + T [ u , v ] = T [ x + u , y + v ] {\displaystyle T[x,y]+T[u,v]=T[x+u,y+v]}
  • Násobení: T [ x , y ] ⋅ T [ u , v ] = T [ x u + y v , x v + y u ] {\displaystyle T[x,y]\cdot T[u,v]=T[xu+yv,xv+yu]}
  • Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: T [ x , 0 ] {\displaystyle T[x,0]} , kde x je přirozené číslo
  • T [ x , y ] = x − y {\displaystyle T[x,y]=x-y}

Racionální čísla

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel.

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: Z × Z 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}}
  • Ekvivalence: x y ≈ u v ⇔ x v = y u {\displaystyle {\frac {x}{y}}\approx {\frac {u}{v}}\Leftrightarrow xv=yu}
  • Rozklad na třídy ekvivalence T: Q = Z × Z 0 / ≈ {\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}/\approx }
  • Sčítání: T x y + T u v = T x v + y u y v {\displaystyle T{\frac {x}{y}}+T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xv+yu}{yv}}}
  • Násobení: T x y ⋅ T u v = T x u y v {\displaystyle T{\frac {x}{y}}\cdot T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xu}{yv}}}
  • Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: T x 1 {\displaystyle T{\frac {x}{1}}} , kde x je celé číslo

Reálná čísla

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} a to tak, že x = − 1 = i {\displaystyle x={\sqrt {-1}}=i} .

  • Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: R × R {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
  • Ekvivalence: [ x , y ] = [ u , v ] ⇔ x = u ∧ y = v {\displaystyle [x,y]=[u,v]\Leftrightarrow x=u\land y=v}
  • Sčítání: [ x , y ] + [ u , v ] = [ x + u , y + v ] {\displaystyle [x,y]+[u,v]=[x+u,y+v]}
  • Násobení: [ x , y ] ⋅ [ u , v ] = [ x u − y v , x v + y u ] {\displaystyle [x,y]\cdot [u,v]=[xu-yv,xv+yu]}