Tor sòlid

En topologia, un tor sòlid és l'espai topològic format en escombrar un disc al voltant d'un cercle.^[1] És homeomòrfic al producte cartesià ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$ del disc i el cercle, segons la topologia producte.^[2] Una manera estàndard de visualitzar un tor sòlid és com a tor encaixat dins l'espai tridimensional. Tanmateix, s'ha de distingir d'un tor, que té el mateix aspecte visual: el tor és l'espai bidimensional que fa de frontera d'una tor, mentre el tor sòlid inclou també l'espai interior compacte tancat pel tor.

El tor sòlid és una varietat connexa, compacta, orientable 3-dimensional amb frontera. La frontera és homeomorfa a${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$, el tor ordinari.

Com que el disc ${\displaystyle D^{2}}$ és contractible, el tor sòlid té el tipus d'homotopia d'un cercle ${\displaystyle S^{1}}$.^[3] Per tant el grup fonamental i els grups d'homologia són isomorfs als del cercle:

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{si }}k=0,1,\\0&{\text{altrament}}.\end{cases}}}$