Teorema de Boucherot

El teorema de Boucherot , és la base d'un mètode ideat per Paul Boucherot que permet la resolució del càlcul total de potències en circuits de corrent altern. D'acord amb aquest teorema, les potències activa i reactiva totals en un circuit, venen donades per la suma de les potències activa i reactiva, respectivament, de cada una de les seves càrregues. De forma analítica:

P T = ∑ k = 1 n P k {\displaystyle P_{T}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}}
Q T = ∑ k = 1 n Q k {\displaystyle Q_{T}=\sum _{k=1}^{n}Q_{k}}

Seguidament es demostraran les dues igualtats per a un receptor sèrie i per a un altre paral·lel.

Receptor en sèrie

Figura 1 : Receptor sèrie, a, i diagrama de fases, b

Sigui el circuit sèrie de la figura 1a. Aplicant la llei d'Ohm

V → = I → ( Z 1 → + Z 2 → + Z 3 → ) = {\displaystyle {\vec {V}}={\vec {I}}({\vec {Z1}}+{\vec {Z2}}+{\vec {Z3}})=\,\!}
= I → ( R 1 + X 1 j + R 2 + X 2 j + R 3 + X 3 j ) {\displaystyle ={\vec {I}}(R1+X1j+R2+X2j+R3+X3j)\,\!}

Prenent la intensitat en l'origen de fases (figura 1b),

I → = I   / 0 _ = I + 0 j = I {\displaystyle {\vec {I}}=I_{\ }{\underline {/0}}=I+0j=I\,\!}

i substituint

V → = I R 1 + R 2 + A N A R 3 + ( I X 1 + I X 2 + I X 3 ) j {\displaystyle {\vec {V}}=IR1+R2+ANAR3+(IX1+IX2+IX3)j\,\!}

D'altra banda, el valor de V → {\displaystyle {\vec {V}}} es pot expressar com (vegeu la figura 1b):

V → = V cos ⁡ ϕ + ( V sin ⁡ ϕ ) j {\displaystyle {\vec {V}}=V\cos \phi +(V\sin \phi )j\,\!}

Comparant les dues igualtats

V cos ⁡ ϕ = I R 1 + R 2 + A N A R 3 {\displaystyle V\cos \phi =IR1+R2+ANAR3\,\!}
V sin ⁡ ϕ = I X 1 + I X 2 + I X 3 {\displaystyle V\sin \phi =IX1+IX2+IX3\,\!}

Finalment si multipliquem ambdues expressions per I, es dedueix

P T = P 1 + P 2 + P 3 {\displaystyle P_{T}=P1+P2+P3\,\!}
Q T = Q 1 + Q 2 + Q 3 {\displaystyle Q_{T}=Q1+Q2+Q3\,\!}

Receptor en paral·lel

Figura 2 : Receptor paral·lel, a, i diagrama de fases, b

Sigui el circuit paral·lel i el seu corresponent diagrama de fases, figures 2a i 2b respectivament. Els components actiu i directiu del corrent total, I a {\displaystyle I_{a}} i I r {\displaystyle I_{r}} , venen donats com la suma dels components parcials de cadascun dels corrents que circulen per cada branca:

I a = I a 1 + I a 2 + I a 3 {\displaystyle I_{a}=I_{a1}+I_{a2}+I_{a3}\,\!}
I r = I r 1 + I r 2 + I r 3 {\displaystyle I_{r}=I_{r1}+I_{r2}+I_{r3}\,\!}

Substituint pels seus valors:

I cos ⁡ ϕ   = I 1 cos ⁡ ϕ _ 1 + I 2 cos ⁡ ϕ _ 2 + I 3 cos ⁡ ϕ _ 3 {\displaystyle I\cos \phi \ =I_{1}\cos \phi \_1+I_{2}\cos \phi \_2+I_{3}\cos \phi \_3\,\!}
I sin ⁡ ϕ   = I 1 sin ⁡ ϕ _ 1 + I 2 sin ⁡ ϕ _ 2 + I 3 sin ⁡ ϕ _ 3 {\displaystyle I\sin \phi \ =I_{1}\sin \phi \_1+I_{2}\sin \phi \_2+I_{3}\sin \phi \_3\,\!}

I si aquestes expressions es multipliquen per V, s'obté

P T = P 1 + P 2 + P 3 {\displaystyle P_{T}=P1+P2+P3\,\!}
Q T = Q 1 + Q 2 + Q 3 {\displaystyle Q_{T}=Q1+Q2+Q3\,\!}

Que és el mateix resultat que per a un receptor sèrie. En ambdós casos, generalitzant

P T = ∑ k = 1 n P k {\displaystyle P_{T}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}\,\!}
Q T = ∑ k = 1 n Q k {\displaystyle Q_{T}=\sum _{k=1}^{n}Q_{k}\,\!}

que és el que es desitjava demostrar.

Potència aparent total

Figura 3 : Triangle de potències d'una instal·lació amb tres receptors, l'1 i el 2 inductius i el 3 capacitiu.

Els dos punts anteriors no impliquen que la potència aparent total d'un sistema s'obtingui com a suma de les potències aparents parcials:

S T ≠ ∑ k = 1 n S k {\displaystyle S_{T}\;\neq \sum _{k=1}^{n}S_{k}\,\!}

Gràficament, per efectuar el balanç de potències d'una instal·lació, cal obtenir el triangle total de potències com a suma dels triangles de potència parcials de cada receptor. Si per exemple tinguéssim tres receptors, dos inductius i un capacitiu, el seu triangle de potències seria similar al mostrat en la figura 3, on es dedueix que

S T = P T 2 + Q T 2 {\displaystyle S_{T}={\sqrt {P_{T}^{2}+Q_{T}^{2}}}\,\!}

Nota