Superfície d'Enneper

Una porció de la superfície d'Enneper

En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per:

x = u ( 1 − u 2 / 3 + v 2 ) / 3 ,   {\displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,\ }
y = − v ( 1 − v 2 / 3 + u 2 ) / 3 ,   {\displaystyle y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,\ }
z = ( u 2 − v 2 ) / 3.   {\displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3.\ }

Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la superfície minimal.[1][2][3][4]

La parametrització de Weierstraß–Enneper és molt simple, f ( z ) = 1 , g ( z ) = z {\displaystyle f(z)=1,g(z)=z} , i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa.

Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9:

64 z 9 − 128 z 7 + 64 z 5 − 702 x 2 y 2 z 3 − 18 x 2 y 2 z + 144 ( y 2 z 6 − x 2 z 6 )   {\displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\ }
+ 162 ( y 4 z 2 − x 4 z 2 ) + 27 ( y 6 − x 6 ) + 9 ( x 4 z + y 4 z ) + 48 ( x 2 z 3 + y 2 z 3 )   {\displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\ }
− 432 ( x 2 z 5 + y 2 z 5 ) + 81 ( x 4 y 2 − x 2 y 4 ) + 240 ( y 2 z 4 − x 2 z 4 ) − 135 ( x 4 z 3 + y 4 z 3 ) = 0.   {\displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\ }

Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és a + b x + c y + d z = 0 ,   {\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }

on:

a = − ( u 2 − v 2 ) ( 1 + u 2 / 3 + v 2 / 3 ) ,   {\displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),\ }
b = 6 u ,   {\displaystyle b=6u,\ }
c = 6 v ,   {\displaystyle c=6v,\ }
d = − 3 ( 1 − u 2 − v 2 ) .   {\displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}).\ }

Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita:

162 a 2 b 2 c 2 + 6 b 2 c 2 d 2 − 4 ( b 6 + c 6 ) + 54 ( a b 4 d − a c 4 d ) + 81 ( a 2 b 4 + a 2 c 4 )   {\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\ }
+ 4 ( b 4 c 2 + b 2 c 4 ) − 3 ( b 4 d 2 + c 4 d 2 ) + 36 ( a b 2 d 3 − a c 2 d 3 ) = 0.   {\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\ }

El jacobià, la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana són:

J = ( 1 + u 2 + v 2 ) 4 / 81 ,   {\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,\ }
K = − ( 4 / 9 ) / J ,   {\displaystyle K=-(4/9)/J,\ }
H = 0.   {\displaystyle H=0.\ }

La curvatura total és − 4 π {\displaystyle -4\pi } . Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} amb una curvatura total de − 4 π {\displaystyle -4\pi } és o bé el catenoide o la superfície d'Enneper.[5]

Una altra propietat n'és que totes les superfícies de Bézier minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície.[6]

Es pot generalitzar a ordres de simetria rotacional majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper f ( z ) = 1 , g ( z ) = z k {\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}} per a sencers k>1.[3] Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} fins a n igual a 7.[7]

Referències

  1. ↑ J.C. c. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
  2. ↑ Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
  3. ↑ 3,0 3,1 Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1
  4. ↑ Weisstein, Eric W., «Enneper's Minimal Surface» a MathWorld (en anglès).
  5. ↑ R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
  6. ↑ Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
  7. ↑ Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

Enllaços externs

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Enneper surface», Encyclopaedia of Mathematics (en anglès), Springer, ISBN 978-1556080104. 
  • http://www.math.hmc.edu/~gu/corbis_and_surfaces/surfaces/enneper.html Arxivat 2013-05-01 a Wayback Machine..
  • https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html Arxivat 2016-09-19 a Wayback Machine.