Superfície d'Enneper
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/EnneperSurfaceAnimated.gif)
En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per:
Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la superfície minimal.[1][2][3][4]
La parametrització de Weierstraß–Enneper és molt simple, , i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa.
Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9:
Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és
on:
Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita:
El jacobià, la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana són:
La curvatura total és . Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en amb una curvatura total de és o bé el catenoide o la superfície d'Enneper.[5]
Una altra propietat n'és que totes les superfícies de Bézier minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície.[6]
Es pot generalitzar a ordres de simetria rotacional majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper per a sencers k>1.[3] Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en fins a n igual a 7.[7]
Referències
- ↑ J.C. c. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
- ↑ Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
- ↑ 3,0 3,1 Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1
- ↑ Weisstein, Eric W., «Enneper's Minimal Surface» a MathWorld (en anglès).
- ↑ R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
- ↑ Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
- ↑ Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569
Enllaços externs
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Enneper surface», Encyclopaedia of Mathematics (en anglès), Springer, ISBN 978-1556080104.
- http://www.math.hmc.edu/~gu/corbis_and_surfaces/surfaces/enneper.html Arxivat 2013-05-01 a Wayback Machine..
- https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html Arxivat 2016-09-19 a Wayback Machine.