Successió exacta

En àlgebra abstracta un conjunt ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ consistent en estructures algebraiques (ja siguin grups o anells o mòduls o espais vectorials) i ${\displaystyle \delta _{i}}$ morfismes (segons quina sigui la categoria) que formen un complex de cadenes

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\overset {\delta _{n+1}}{\to }}A_{n}{\overset {\delta _{n}}{\to }}A_{n-1}\to \ldots }$

i que satisfan

${\displaystyle {\textrm {im}}\,\delta _{n+1}={\textrm {ker}}\,\delta _{n}}$

per a totes les ${\displaystyle n}$, es diu que formen una successió exacta.

Això significa que tots els grups d'homologia són trivials (=0). Aquest concepte es deu a Witold Hurewicz des de 1941.

Una successió exacta curta és una successió ${\displaystyle 0\to A{\overset {\alpha }{\to }}B{\overset {\beta }{\to }}C\to 0}$ que és exacta. Això és el mateix a demanar que

• ${\displaystyle \alpha }$ és injectiva
• ${\displaystyle {\beta }}$ indueix un isomofisme tal que ${\displaystyle B/im({\alpha })\cong C.}$ .
• ${\displaystyle \beta }$ és exhaustiva.

• Complex de cadenes