Reducció d'ordre

Per a altres significats, vegeu «Reducció (desambiguació)».

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions (${\displaystyle y_{1}}$) és coneguda i es busca la segona (${\displaystyle y_{2}}$).

Donada una equació diferencial

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0\,}$

i una sola solució (${\displaystyle y_{1}(t)}$), i sigui la segona solució definida per

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}$

on ${\displaystyle v(t)}$ és una funció arbitrària. Així,

${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}$

i

${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}$

Si se substitueixen per ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle y'}$, i ${\displaystyle y''}$ a l'equació diferencial, llavors

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.}$

Com que ${\displaystyle y_{1}(t)}$ és solució de l'equació diferencial original, ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$, es pot reduir a

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0}$

que és una equació diferencial de primer ordre per ${\displaystyle v'(t)}$. Dividint per ${\displaystyle y_{1}(t)}$, s'obté

${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0}$

i ${\displaystyle v'(t)}$ es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat ${\displaystyle v'(t)}$, s'integra i se substitueix a l'equació original per ${\displaystyle y_{2}}$:

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,}$

• Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

• (anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.