Partícula en un potencial central

En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial ${\displaystyle V}$ de cada partícula depèn només de la distància ${\displaystyle r}$ entre la partícula i el centre del potencial.

Considerem una partícula de massa ${\displaystyle m}$ en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\,(E-V)\,\psi =0}$$

Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V)\psi =0}$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\,Y(\theta ,\varphi )}$$s'obté, substituint i multiplicant per ${\displaystyle r^{2}/RY}$:$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}\,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V)=-{\frac {1}{Y\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)-{\frac {1}{Y\,\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}}$$

El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de ${\displaystyle r}$ i el membre de la dreta (part angular) depèn només de ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \varphi }$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui ${\displaystyle l(l+1)}$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació radial: ${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}\,{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E-V\right)=l(l+1)}$
• Equació angular: ${\displaystyle -{\frac {1}{Y\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)-{\frac {1}{Y\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=l(l+1)}$

L'equació angular es pot multiplicar per ${\displaystyle Y\sin ^{2}\theta }$:$${\displaystyle \sin \theta \,{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-l(l+1)\,Y\sin ^{2}\theta }$$

Si suposem que les solucions de l'equació són separables,$${\displaystyle Y(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$$s'obté, substituint i dividint per ${\displaystyle \Theta \Phi }$:$${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+l(l+1)\,\sin ^{2}\theta =-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}}$$

El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de ${\displaystyle \theta }$ i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de ${\displaystyle \varphi }$. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui ${\displaystyle m^{2}}$. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:

• Equació polar: ${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+l(l+1)\,\sin ^{2}\theta =m^{2}}$
• Equació azimutal: ${\displaystyle -{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=m^{2}}$

La solució general de l'equació azimutal és:$${\displaystyle \Phi _{m}=A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }+B\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\varphi }}$$on ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en ${\displaystyle \varphi }$, la funció ${\displaystyle \Phi }$ també ha de ser univaluada i periòdica en ${\displaystyle \varphi }$, és a dir, ${\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )}$. En aquest cas, el nombre ${\displaystyle m}$, que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:$${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Les solucions independents ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\varphi }}$ coincideixen amb les solucions independents ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }}$ per a ${\displaystyle m}$ negatius. Per tant, podem prendre ${\displaystyle B=0}$ sense pèrdua de generalitat:$${\displaystyle \Phi _{m}=A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }}$$

Normalitzant ${\displaystyle \Phi _{m}}$, s'obté:$${\displaystyle 1=\int _{0}^{2\pi }\Phi _{m}\Phi _{m}^{*}\,\mathrm {d} \varphi =\vert A\vert ^{2}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi =2\pi \,\vert A\vert ^{2}\quad \Longrightarrow \quad A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$$

Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:$${\displaystyle \Phi _{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{im\varphi }}$$

L'equació polar es pot multiplicar per ${\displaystyle \Theta /\sin ^{2}\theta }$:$${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0}$$

Fent el canvi de variables ${\displaystyle x=\cos \theta }$:$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sin ^{2}\theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0}$$

Fent la substitució ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-x^{2}}$:$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right]+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\Theta =0}$$

Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:$${\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Theta }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x\,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\Theta =0}$$que és una equació associada de Legendre.

Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció ${\displaystyle \Theta }$ també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre ${\displaystyle l}$, que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan ${\displaystyle |m|\leq l}$, és a dir, quan$${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm l}$$

La solució general de l'equació associada de Legendre per a ${\displaystyle x=\cos \theta }$ és:$${\displaystyle \Theta _{lm}=C\,P_{l}^{m}(\cos \theta )+D\,Q_{l}^{m}(\cos \theta )}$$on ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ són constants arbitràries, i ${\displaystyle P_{l}^{m}}$ i ${\displaystyle Q_{l}^{m}}$ són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.

• L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965.
• E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998.
• L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968.
• L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.