Paradoxa de les patates

La paradoxa de les patates és un càlcul matemàtic que té un resultat contraintuïtiu.

La paradoxa s'ha descrit així

Tu tens 100 kg de patates, dels quals el 99% és aigua. Les deixes deshidratar fins que siguin el 98% aigua. Quant pesen ara?

Al llibre "The Universal Book of Mathematics" presenta el problema de la següent forma:^[3]

Fred porta a casa 100 lliures de patates, que (per ser patates matemàtiques) consisteixen en un 99% d'aigua. Les deixa deshidratar tota la nit i passen a ser un 98% d'aigua. Quin és el seu nou pes? La resposta és 50 lliures.

A la classificació de Quine de paradoxes, la paradoxa de les patates és una paradoxa verídica.

Una explicació senzilla és considerar que inicialment el pes de la no-aigua és l'1% del total. Llavors ens podem preguntar: 1 kilo és el 2% de quants kilograms? Per què aquest percentatge sigui el doble, el pes total ha de ser la meitat.

100 kg de patates, 99% aigua (de pes) vol dir que hi ha 99 kg d'aigua i 1 kg de sòlid. És un ratio de 1:99.

Si l'aigua baixa al 98%, llavors el sòlid passa a ser el 2% del sòlid. El ratio 2:98 es pot reduir a 1:49. Com que el sòlid encara pesa 1 kg, l'aigua pesarà 49 kg, fent un total de 50 kg de pes.

Després d'evaporar l'aigua, la quantitat total romanent x conté 1 kg de sòlid de patates i (98/100)x d'aigua. L'equació és: ${\displaystyle {\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}}$

que resulta ser x = 50 kg.

El pes de l'aigua en les patates fresques és ${\displaystyle 0.99\cdot 100}$.

Si ${\displaystyle x}$és el pes de l'aigua perdut per les patates al deshidratar-se llavors ${\displaystyle 0.98(100-x)}$ és el pes de l'aigua que queda a les patates. Per tant:

${\displaystyle 0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x}$

Expandint i simplificant es te

${\displaystyle 99-(98-0.98x)=x}$

${\displaystyle 99-98+0.98x=x}$

${\displaystyle 1+0.98x=x}$

Restant ${\displaystyle x}$de cada costat:

${\displaystyle 1+0.98x-0.98x=x-0.98x}$

${\displaystyle 1=0.02x}$

I resolent

${\displaystyle {\frac {1}{0.02}}={\frac {0.02x}{0.02}}}$

Que dona que l'aigua perduda és

${\displaystyle 50=x}$

I el pes de les patates deshidratades és

${\displaystyle 100-x=100-50=50}$

La resposta és la mateixa sempre que la concentració del sòlid es dobla. Per exemple, si les patates fossin originalment un 99.999% d'aigua, reduint el percentatge a 99.998% també es dividiria el pes per dos.