Matriu definida positiva

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius. També pot tractar-se d'una matriu simètrica real amb menors principals positius (criteri de Sylvester).

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector ${\displaystyle a}$ com ${\displaystyle a^{T}}$, i el conjugat transposat, ${\displaystyle a^{*}}$. Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1.	Per a tots els vectors no nuls ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ tenim: ${\displaystyle {\textbf {z}}^{H}M{\textbf {z}}>0}$. Noteu que ${\displaystyle z^{*}Mz}$ és sempre real.
2.	Tots els valors propis ${\displaystyle \lambda _{i}}$ de ${\displaystyle M}$ són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3.	La forma sesquilineal hermítica definida per la relació ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$ és un producte escalar a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
4.	Tots els menors principals de ${\displaystyle M}$ són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius. La superior esquerra de M de dimensió 1x1 La superior esquerra de M de dimensió 2x2 La superior esquerra de M de dimensió 3x3 ... La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1) ${\displaystyle M}$ en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ per ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, i la conjugada transposada per la transposada.

• Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.

• Si ${\displaystyle M}$ és una matriu definida positiva i ${\displaystyle r>0}$ és un nombre real, llavors ${\displaystyle rM}$ és definida positiva.

• Si ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$ són matrius definides positives, aleshores la suma ${\displaystyle M+N}$ també ho és. A més si

${\displaystyle MN=NM}$, llavors ${\displaystyle MN}$ és també definida positiva.

• Per a tota matriu definida positiva ${\displaystyle M}$, existeix una única matriu definida positiva ${\displaystyle N}$ tal que ${\displaystyle N^{2}=M}$; es denota ${\displaystyle N=M^{1/2}}$ i es diu arrel quadrada de ${\displaystyle M}$.

La matriu hermítica (respectivament real simètrica) ${\displaystyle M}$ es diu:

- Definida negativa si ${\displaystyle x^{*}Mx<0\,}$ per a tots els vectors ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ (respectivament ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$) no nuls

- Semidefinida positiva si ${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$ per a tot ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ (respectivament ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$)

- Semidefinida negativa si ${\displaystyle x^{*}Mx\leq 0}$ per a tot ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ (respectivament ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$), en altres paraules si ${\displaystyle -M}$ és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Una matriu real M pot tenir la propietat x^T M x > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

és un exemple. En general, tindrem x^T M x > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica (M + M ^T) / 2, és definida positiva.