Matriu de Jordan

En teoria matemàtica de matrius, un bloc de Jordan sobre un anell ${\displaystyle A}$ (les identitats del qual són el zero 0 i l'u 1)^{[nb 1]} és una matriu amb entrades 0 arreu excepte a la diagonal, que conté un element fixat ${\displaystyle \lambda \in A}$, i a la superdiagonal, que conté el valor 1. Aquest concepte pren el nom de Camille Jordan.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}}$

Cada bloc de Jordan està, doncs, determinat per la seva dimensió n i el seu valor propi ${\displaystyle \lambda }$, i es simbolitza per ${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$.

Tota matriu diagonal per blocs formada per blocs de Jordan s'anomena matriu de Jordan; usant o bé la suma directa ${\displaystyle \oplus }$ o el símbol "${\displaystyle \mathrm {diag} }$", es denota per ${\displaystyle J_{\alpha ,l}\oplus J_{\beta ,m}\oplus J_{\gamma ,n}}$ o bé ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\alpha ,l},J_{\beta ,m},J_{\gamma ,n}\right)}$ la matriu diagonal per blocs quadrada de dimensió ${\displaystyle (l+m+n)\times (l+m+n)}$ que té per primer bloc ${\displaystyle J_{\alpha ,l}}$, per segon bloc ${\displaystyle J_{\beta ,m}}$ i per tercer bloc ${\displaystyle J_{\gamma ,n}}$.

Per exemple, la matriu

${\displaystyle J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{matrix}}\right)}$

és una matriu de Jordan ${\displaystyle 10\times 10}$ amb un bloc ${\displaystyle 3\times 3}$ de valor propi ${\displaystyle 0}$, dos blocs ${\displaystyle 2\times 2}$ amb valor propi la unitat imaginària i un bloc ${\displaystyle 3\times 3}$ amb valor propi 7. La seva estructura en blocs de Jordan també pot ser escrita com ${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$ o com ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{0,3},J_{i,2},J_{i,2},J_{7,3}\right)}$.

Tota matriu quadrada ${\displaystyle A}$ de dimensió ${\displaystyle n\times n}$ amb elements d'un cos algebraicament tancat ${\displaystyle K}$ és semblant a una matriu de Jordan ${\displaystyle J}$, que també pertany a ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$ (l'anell de matrius quadrades ${\displaystyle n\times n}$ amb elements de ${\displaystyle K}$), i que a més és única llevat de permutacions dels seus blocs diagonals. Hom diu que ${\displaystyle J}$ és la forma canònica de Jordan d'${\displaystyle A}$ i correspon a una generalització del procés de diagonalització. Una matriu diagonalitzable A es pot considerar un cas particular de la forma canònica de Jordan, en què tots els seus blocs són de dimensió ${\displaystyle 1\times 1}$.

Més generalment, donada una matriu de Jordan ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$ (és a dir, on el bloc diagonal k-sim, ${\displaystyle 1\leq k\leq N}$, és el bloc de Jordan ${\displaystyle J_{\lambda _{k},m_{k}}}$, i on els elements diagonals ${\displaystyle \lambda _{k}}$ no tenen per què ser tots diferents), la multiplicitat geomètrica de ${\displaystyle \lambda \in K}$ per la matriu ${\displaystyle J}$, simbolitzada per ${\displaystyle \mathrm {gmul} _{J}\lambda \,}$, correspon al nombre de blocs de Jordan que tenen valor propi ${\displaystyle \lambda }$. Per altra banda, l'índex d'un valor propi ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle J}$, simbolitzat per ${\displaystyle \mathrm {idx} _{J}\lambda \,}$, es defineix com la dimensió del bloc de Jordan més gran associat a aquest valor propi.

El mateix concepte aplica per tota matriu ${\displaystyle A}$ semblant a ${\displaystyle J}$, de tal manera que ${\displaystyle \mathrm {idx} _{A}\lambda \,}$ es pot definir considerant la forma canònica de Jordan d'${\displaystyle A}$ per qualsevol dels seus valors propis ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$. En aquest cas, es pot comprovar que l'índex de ${\displaystyle \lambda }$ en ${\displaystyle A}$ és igual a la multiplicitat de ${\displaystyle \lambda }$ com a arrel del polinomi mínim d'${\displaystyle A}$ (on, per definició, la seva multiplicitat algebraica en ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \mathrm {mul} _{A}\lambda \,}$, és la seva multiplicitat com a arrel del polinomi característic d'${\displaystyle A}$, és a dir, ${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$). Una condició necessària i suficient perquè ${\displaystyle A}$ sigui diagonalitzable dins ${\displaystyle K}$ és que tots els seus valors propis tinguin índex igual a ${\displaystyle 1}$, és a dir, que el seu polinomi mínim tingui només arrels simples.

Des del punt de vista d'espais vectorials, la descomposició de Jordan-Chevalley és equivalent a trobar una descomposició ortogonal (és a dir, mitjançant suma directa d'espais propis representats per blocs de Jordan) del domini format per la base dels vectors propis generalitzats associats.

L'exemple més senzill d'un sistema dinàmic és un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constans. Per exemple, siguin ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ i ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {z} }}(t)=A\mathbf {z} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0},}$

del qual hom pot calcular explícitament la seva solució, mitjançant l'exponencial d'una matriu:

${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$

Una altra manera, suposant que la solució està restringida a l'espai de Lebesgue de camps vectorials de dimensió ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$, és usar la seva transformada de Laplace ${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$. En aquest cas

${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$

La funció matricial ${\displaystyle \left(A-sI\right)^{-1}}$ s'anomena matriu resolvent de l'operador diferencial ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$. És meromorfa respecte al paràmetre complex ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ perquè els elements de la matriu són funcions racionals amb denominadors iguals a tots els ${\displaystyle \det(A-sI)}$. Els pols de singularitat són els valors propis d'${\displaystyle A}$, l'ordre dels quals són el seu índex, és a dir, ${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$.

• Descomposició de Jordan–Chevalley
• Forma canònica de Jordan
• Càlcul funcional holomorf
• Sistema dinàmic
• Espai d'estats