Integral de Duhamel

La integral de Duhamel En la teoria de vibracions, és un mètode per calcular la resposta de sistemes lineals i estructures a excitacions externes arbitràries variables en el temps. Rep el seu nom del matemàtic francès Jean Marie Duhamel.

La resposta d'un sistema lineal esmorteït d'un sol grau de llibertat a una excitació mecànica variable en el temps p(t) ve donada per l'equació diferencial ordinària de segon ordre següent:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}$

on m és la massa (equivalent), x és l'amplitud de vibració, t el temps, c el coeficient d'esmorteïment viscos, i k la rigidesa del sistema o estructura.

Si un sistema inicialment en repòs i en equilibri rep un impuls unitari a l'instant t=0, és a dir que p(t) a l'equació anterior és una funció delta δ(t), ${\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$, aleshores la solució de l'equació diferencial és una solució fonamental coneguda com a funcio resposta a l'impuls unitari)

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}$

on ${\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2m\omega _{n}}}}$ rep el nom raó d'esmorteïment del sistema, ${\displaystyle \omega _{n}}$ és la pulsació natural del sistema no esmorteït (és a dir, quan c=0) i ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ és la freqüència circular quan es té en compte l'efecte de l'esmorteïment (és a dir quan ${\displaystyle c\neq 0}$). Si l'impuls es dona a t=τ en lloc de t=0, és a dir ${\displaystyle p(t)=\delta (t-\tau )}$, la resposta a l'impuls és

${\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}$，${\displaystyle t\geq \tau }$

Expressant l'excitació arbitrària p(t) com a la superposició d'una sèrie d'impulsos:

${\displaystyle p(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

aleshores, de la linealitat del sistema, se sap que la resposta total també es pot expressar com la superposició de la sèrie de respostes als impulsos:

${\displaystyle x(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

Si es fa ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$, i canviant la suma per una integral, l'equació anterior és estrictament vàlida

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$

Substituint l'expressió de h(t-τ) en l'equació anterior porta a l'expressió general de la integral de Duhamel

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

• R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., Nova York, 1975. (en angles)
• Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001 (en angles)
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 (en angles)

• Fórmula de Duhamel Arxivat 2010-07-28 a Wayback Machine. a "Dispersive Wiki".(anglès)