En matemàtiques, la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:
![{\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta \;=\;\cos ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d887b565b9ccfd95eaa8817fa63967a8b2705fe)
![{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4d0a302c2c53d980d0a82aa25441a3668b0f32)
![{\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta {\text{ per }}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0d3dc89b7e9ea5ab2fd16798817759b14761cf)
En l'expressió a² − x², la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin²θ = cos²θ.
En l'expressió a² + x², la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan²θ + 1 = sec²θ.
De manera similar, en x² − a², la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec²θ − 1 = tan²θ.
Exemples
Integrals que contenen a² − x²
A la integral
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b554f29e05d3409df9950063ac8a7c0a0b218e41)
Es pot emprar
![{\displaystyle x=a\sin(\theta )\ \ {\mbox{per}}\ {\mbox{tant}}\ \arcsin(x/a)=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0f996b7fe95cab5897598087a09277249c9f60)
![{\displaystyle dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ba23112d1383488f8637774d0892b3a2a2022b)
![{\displaystyle a^{2}-x^{2}=a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )=a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))=a^{2}\cos ^{2}(\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae86f89a1baac4378c8b7163b09d31f1f0e350e4)
Així la integral esdevé
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin(x/a)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad2fd700ea33e6b05d29b61f51f73f6ef891e11)
(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a²; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)
Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té
![{\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127bc2fad2ea93e68380a93642f51a93fcc91bd)
(Aneu amb compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, l'única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)
Integrals que contenen a² + x²
A la integral
![{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00faefd026da715fd8eaa051ab28322e4135cafe)
es pot escriure
![{\displaystyle x=a\tan(\theta )\ \ {\mbox{per}}\ {\mbox{tant}}\ \theta =\arctan(x/a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1943c6a21b221d36d5b4a1d07fedc65056f3393)
![{\displaystyle dx=a\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ade6dc7ed9f6b7735a87d592fc5235923828749)
![{\displaystyle a^{2}+x^{2}=a^{2}+a^{2}\tan ^{2}(\theta )=a^{2}(1+\tan ^{2}(\theta ))=a^{2}\sec ^{2}(\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff858cf5ce6e37ab6c1b31d84ecd9eddc7065d5)
![{\displaystyle x/a=\tan(\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4f4ba22f32fc606d4c21a17f3372b913c04b04)
així la integral esdevé
![{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}\sec ^{2}(\theta )}}\,a\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{a}}\int \,d\theta ={\frac {\theta }{a}}+C={\frac {1}{a}}\arctan(x/a)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f1718febd9f4e22a3cfb14665f03ecbb358c9a)
(donat que a > 0).
Integrals que contenen x² − a²
integrals com
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b30f75798064140e18d96a88c285fd35808652c)
S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.
La integral
![{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0adc36a27b13417d665fc5e270f00f76aef98dd)
Es pot resoldre per substitució
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=a\sec \theta ,\\dx&{}=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\\x^{2}-a^{2}&{}=a^{2}\tan ^{2}\theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa58a92b3c023548c53b5303e54657d0758da1aa)
Això inclourà la integral de la secant al cub.
Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques
La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,
![{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du,\qquad \qquad u=\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a7fde32a93f1d946121646e32d8239cf0f9f0d)
![{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {-1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du\qquad \qquad u=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f95fa7200a0117b854fe4caed46eb0a554562b6)
(però cal anar amb compte amb els signes)
![{\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du\qquad \qquad u=\tan {\frac {x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5557221e5f8a18e88d4de46c8b36f5ee3276da7)
![{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffe30cb4834f7e3cd0c4a7cf1874ec587ab140a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}={\frac {1}{4}}\int (1-u^{4})\,du={\frac {1}{4}}\left(u-{\frac {1}{5}}u^{5}\right)+C\\\\&{}={\frac {(1+3\cos x+\cos ^{2}x)\sin x}{5(1+\cos x)^{3}}}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e5928881d807d4f2088daaa92e4e5cd5e0810e)
Vegeu també