Forma normal negativa

En lògica matemàtica, una fórmula és en forma normal negativa si l'operador negació (${\displaystyle \lnot }$, not) només està aplicat a variables, i els únics altres operadors booleans permesos són la conjunció (${\displaystyle \land }$, and) i la disjunció (${\displaystyle \lor }$, or).

La forma normal negativa no és una forma canònica: per exemple ${\displaystyle a\land (b\lor \lnot c)}$ i ${\displaystyle (a\land b)\lor (a\land \lnot c)}$ són equivalents, i totes dues estan en forma normal negativa.

En lògica clàssica i el moltes lògiques modals, tota fórmula pot transformar-se en aquesta forma, tot substituint implicacions i equivalències per llurs definicions, usant les Lleis de De Morgan per desplaçar les negacions cap a l'interior de la fórmula, i eliminant dobles negacions. Aquest procés es pot representar mitjançant les següents regles de reescriptura:

${\displaystyle \lnot (\forall x.G)\to \exists x.\lnot G}$

${\displaystyle \lnot (\exists x.G)\to \forall x.\lnot G}$

${\displaystyle \lnot \lnot G\to G}$

${\displaystyle \lnot (G_{1}\land G_{2})\to (\lnot G_{1})\lor (\lnot G_{2})}$

${\displaystyle \lnot (G_{1}\lor G_{2})\to (\lnot G_{1})\land (\lnot G_{2})}$

Una fórmula en forma normal negativa es pot transformar en les formes normal conjuntiva o normal disjuntiva tot aplicant distributivitat.

Totes les fórmules següents estan en forma normal negativa:

${\displaystyle (A\vee B)\wedge C}$

${\displaystyle (A\wedge (\lnot B\vee C)\wedge \lnot C)\vee D}$

${\displaystyle A\vee \lnot B}$

${\displaystyle A\wedge \lnot B}$

El primer exemple també està en forma normal conjuntiva, i els dos últims estan alhora en forma normal conjuntiva i en forma normal disjuntiva, però el segon exemple no està en cap d'aquestes dues formes.

Les fórmules següents no estan en forma normal negativa:

${\displaystyle A\Rightarrow B}$

${\displaystyle \lnot (A\vee B)}$

${\displaystyle \lnot (A\wedge B)}$

${\displaystyle \lnot (A\vee \lnot C)}$

Tot i això, són equivalents (respectivament) a les següents fórmules en forma normal negativa:

${\displaystyle \lnot A\vee B}$

${\displaystyle \lnot A\wedge \lnot B}$

${\displaystyle \lnot A\vee \lnot B}$

${\displaystyle \lnot A\wedge C}$

• Robinson, Alan J.A.; Voronkov, Andrei. Handbook of automated reasoning. reprinted. Amsterdam: North Holland, 2001, p. 203 i següents. ISBN 0444829490. 

• Cálculo de la forma normal negativa a Lógica informática (2011–12) (castellà)