En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:
Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.
Exemple
La indeterminació
apareix als següents límits:
Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:[1]
Indeterminació
Existeix una fórmula per evitar la indeterminació
. Siguin
i
dues funcions amb límits
i
quan
(sent
), aleshores
En aquest cas,
Per exemple,
Aplicant la fórmula,
Indeterminació
- Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits).[2] Per exemple,
Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:
Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:
- Quocient de polinomis: quan
, apareix la indeterminació
en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin
i
dos polinomis amb graus
i
, respectivament, aleshores:[3]
sent
i
els coeficients principals del polinomis
i
, respectivament.
En el tercer cas,
, el signe de l'infinit és
.
En el cas
, es procedeix de manera semblant.
Indeterminació
Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple,
Però,
Indeterminació
Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.[2]
Per exemple,
La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.
Forma indeterminada | Condicions | Transformació a 0/0 | Transformació a ∞/∞ |
| | — | |
| | | — |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Vegeu també
Referències
- ↑ Llopis, José L. «Indeterminación o forma indeterminada» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].
- ↑ 2,0 2,1 «Cálculo de límites» (en castellà). PyE. [Consulta: 14 juny 2019].
- ↑ Llopis, José L. «Indeterminación infinito partido infinito» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].