Distribució predictiva posterior

Distribució predictiva posterior

Tipus	distribució de probabilitat

En l'estadística bayesiana, la distribució predictiva posterior és la distribució de possibles valors no observats condicionats als valors observats.^[1][2]

Donat un conjunt de N iid observacions ${\displaystyle \mathbf {X} =\{x_{1},\dots ,x_{N}\}}$, un nou valor ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ s'extreurà d'una distribució que depèn d'un paràmetre ${\displaystyle \theta \in \Theta }$, on ${\displaystyle \Theta }$ és l'espai dels paràmetres.^[3]

${\displaystyle p({\tilde {x}}|\theta )}$

Pot semblar temptador connectar una única millor estimació ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ per ${\displaystyle \theta }$, però això ignora la incertesa sobre ${\displaystyle \theta }$, i com que s'ignora una font d'incertesa, la distribució predictiva serà massa estreta. Dit d'una altra manera, prediccions de valors extrems de ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ tindrà una probabilitat menor que si es té en compte la incertesa dels paràmetres donada per la seva distribució posterior.

Una distribució predictiva posterior explica la incertesa sobre ${\displaystyle \theta }$. La distribució posterior del possible ${\displaystyle \theta }$ els valors depèn ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle p(\theta |\mathbf {X} )}$

I la distribució predictiva posterior de ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ donat ${\displaystyle \mathbf {X} }$ es calcula marginant la distribució de ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ donat ${\displaystyle \theta }$ sobre la distribució posterior de ${\displaystyle \theta }$ donat ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {X} )=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta |\mathbf {X} )\operatorname {d} \!\theta }$

Perquè explica la incertesa ${\displaystyle \theta }$, la distribució predictiva posterior serà, en general, més àmplia que una distribució predictiva que inclou una única millor estimació per ${\displaystyle \theta }$.

La distribució predictiva prèvia, en un context bayesià, és la distribució d'un punt de dades marginat sobre la seva distribució prèvia. És a dir, si ${\displaystyle {\tilde {x}}\sim F({\tilde {x}}|\theta )}$ i ${\displaystyle \theta \sim G(\theta |\alpha )}$, aleshores la distribució predictiva prèvia és la corresponent ${\displaystyle H({\tilde {x}}|\alpha )}$, on

${\displaystyle p_{H}({\tilde {x}}|\alpha )=\int _{\theta }p_{F}({\tilde {x}}|\theta )\,p_{G}(\theta |\alpha )\operatorname {d} \!\theta }$

Això és similar a la distribució predictiva posterior, excepte que la marginació (o equivalentment, expectativa) es pren respecte a la distribució anterior en lloc de la distribució posterior.