Distància d'un punt a una recta

En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui ${\displaystyle P\,}$ un punt, ${\displaystyle r\,}$ una recta i ${\displaystyle A\,}$ un punt d'aquesta recta:

${\displaystyle d(P,r)=\min _{A\in r}\|P-A\|}$

Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Suposem que volem trobar la distància entre un punt ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2})\,}$ i una recta de la forma ${\displaystyle r:\,Ax+By+C=0\,}$. Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és:

${\displaystyle d(P,r)={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

Per la demostració utilitzarem el punt ${\displaystyle \,Q=(q_{1},q_{2})\in r}$ (pertany a ${\displaystyle \,r}$) i el vector normal ${\displaystyle {\vec {n}}=(A,B)\perp r}$.

Per la definició de producte escalar, tenim que:

${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}=\|{\vec {n}}\|\cdot \|{\vec {PQ}}\|\cdot \cos \alpha }$

I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació:^[1]

${\displaystyle d(P,r)=\|{\vec {PQ}}\|\cdot |\cos \alpha |={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}|}{\parallel {\vec {n}}\parallel }}}$

Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector ${\displaystyle {\vec {PQ}}=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2})}$, el vector normal és ${\displaystyle {\vec {n}}=(A,B)}$ i el mòdul del vector normal ${\displaystyle \parallel {\vec {n}}\parallel ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$. Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim:

${\displaystyle d(P,r)={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}|}{\parallel {\vec {n}}\parallel }}={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}-(Aq_{1}+Bq_{2})|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

Donat que el punt ${\displaystyle \,Q}$ pertany a la recta, tenim que:

${\displaystyle \,Aq_{1}+Bq_{2}+C=0\rightarrow -(Aq_{1}+Bq_{2})=C}$

I per tant:

${\displaystyle d(P,r)={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

Si tenim la recta ${\displaystyle \,r:x-2y-3=0}$ i volem saber a quina distància es troba el punt ${\displaystyle \,P=(2,3)}$, haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera:

${\displaystyle d(P,r)={\frac {|2-6-3|}{\sqrt {1^{2}+2^{2}}}}={\frac {7{\sqrt {5}}}{5}}}$

Suposem que volem trobar la distància entre un punt ${\displaystyle \,P}$ i una recta ${\displaystyle \,r}$. La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem ${\displaystyle \,Q}$ a aquest punt i ${\displaystyle {\vec {u}}}$ a aquest vector. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per:

${\displaystyle d(P,r)={\frac {\|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

Si ${\displaystyle \,\alpha }$ és l'angle entre els vectors ${\displaystyle {\vec {PQ}}}$ i ${\displaystyle {\vec {u}}}$, la distància entre el punt ${\displaystyle \,P}$ i la recta és:

${\displaystyle d(P,r)=\|{\vec {PQ}}\|\cdot \sin \alpha }$

Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que:

${\displaystyle \|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {PQ}}\|\cdot \sin \alpha =\|{\vec {u}}\|\cdot d(P,r)}$

Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

Suposem que tenim la recta ${\displaystyle r:{\frac {x-2}{1}}={\frac {y-3}{2}}={\frac {z+1}{1}}}$; llavors el vector és ${\displaystyle {\vec {u}}=(1,2,1)}$ i el punt que hi pertany és ${\displaystyle \,Q=(2,3,-1)}$. Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt ${\displaystyle \,P=(1,2,3)}$, hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector ${\displaystyle {\vec {PQ}}}$ i ${\displaystyle {\vec {u}}}$, i llavors el seu mòdul:

${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {PQ}}=(1,2,1)\times (-1,-1,4)=(9,-5,1)\rightarrow \|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|={\sqrt {107}}}$

A més a més, el mòdul del vector director de la recta és ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|={\sqrt {6}}}$. En resum, la distància entre el punt i la recta és:

${\displaystyle d(P,r)={\sqrt {\frac {107}{6}}}}$

• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques I, Modalitat de Ciències de la Naturalesa i de la Salut, i de Tecnologia, 2002. ISBN 84-236-6178-4. 
• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques II, Modalitat de Ciències i Tecnologia, 2009. ISBN 978-84-236-9508-9. 

• Distància euclidiana
• Distància d'un punt a un pla

• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html
• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html