Dilogaritme

En matemàtiques, el dilogaritme o funció d'Spence, denotada com a Li₂(z), és un cas particular de polilogaritme. Existeixen dues funcions especials relacionades que s'anomenen funció de Spence, el propi dilogaritme:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

i el seu reflex. Per a |z|<1, també es pot escriure com a sèrie infinita (la definició integral constitueix la seva extensió analítica al pla complex):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

Alternativament, la funció de dilogaritme de vegades es defineix com a

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

En geometria hiperbòlica, el dilogaritme es pot utilitzar per a calcular el volum d'un símplex ideal. Concretament, un símplex els vèrtexs del qual tenen una proporció creuada z té volum hiperbòlic

${\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.}$

La funció D(z) de vegades s'anomena funció de Bloch-Wigner.^[1] La funció de Lobachevsky i la funció de Clausen són funcions estretament relacionades.

El dilogaritme va ser estudiat per primer cop pel matemàtic escocès de principis del segle XIX, William Spence.^[2]

Utilitzant la definició anterior, la funció de dilogaritme és analítica arreu del pla complex excepte a ${\displaystyle z=1}$, on té un punt de ramificació logarítmica. L'opció estàndard de tall de branca és al llarg de l'eix real positiu ${\displaystyle (1,\infty )}$. Tanmateix, la funció és contínua al punt de ramificació i pren el valor ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).}$ ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$ ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.}$ ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.}$ ^[4]

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$ on ${\displaystyle \zeta (s)}$ és la funció zeta de Riemann.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

El dilogaritme apareix sovint en problemes teòrics de física de partícules en càlculs de correccions radiatives. En aquest context, la funció sovint es defineix amb un valor absolut dins del logaritme:

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

• Lewin, L.; Foreword by J. C. P. Miller. Dilogarithms and associated functions. Londres: Macdonald, 1958. 
• Morris, Robert Math. Comp., 33, 1979, pàg. 778–787. DOI: 10.1090/S0025-5718-1979-0521291-X [Consulta: free].
• Loxton, J. H. Acta Arith., 18, 1984, pàg. 155–166. DOI: 10.4064/aa-43-2-155-166 [Consulta: free].
• Kirillov, Anatol N. Progress of Theoretical Physics Supplement, 118, 1995, pàg. 61–142. arXiv: hep-th/9408113. Bibcode: 1995PThPS.118...61K. DOI: 10.1143/PTPS.118.61.
• Osacar, Carlos; Palacian, Jesus; Palacios, Manuel Celest. Mech. Dyn. Astron., 62, 1995, pàg. 93–98. Bibcode: 1995CeMDA..62...93O. DOI: 10.1007/BF00692071.
• Zagier, Don. «The Dilogarithm Function». A: Pierre Cartier. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II, 2007, p. 3–65. DOI 10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN 978-3-540-30308-4. 

• Bloch, Spencer J. Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. 11. Providence, RI: American Mathematical Society, 2000 (CRM Monograph Series). ISBN 0-8218-2114-8. 

• Biblioteca digital de funcions matemàtiques del NIST: dilogaritme