Derivada de la funció inversa

En matemàtiques, la inversa d'una funció ${\displaystyle y=f(x)}$ és una funció que, d'alguna manera, "desfà" l'efecte de ${\displaystyle f}$ (vegeu funció inversa per a una definició formal detallada). La inversa de ${\displaystyle f}$ s'escriu ${\displaystyle f^{-1}}$. Les afirmacions y=f(x) i x=f ^-1(y) són equivalents.

Les seves dues derivades, suposant que existeixin, són cada una inversa, de l'altre tal com suggereix la notació de Leibniz; és a dir:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

Això és una conseqüència directa de la regla de la cadena, com que

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

I la derivada de ${\displaystyle x}$ respecte de ${\displaystyle x}$ és 1.

Escrivint explícitament la dependència de y respecte de x i del punt al qual es calcula la derivada i emprant la notació de Lagrange. La fórmula de la derivada de la funció inversa esdevé

${\displaystyle [f^{-1}]'(a)={\frac {1}{f'\left[f^{-1}(a)\right]}}.}$

Geomètricament, les gràfiques d'una funció i de la seva funció derivada són reflexions, a la línia y=x. Aquesta operació de reflexió transforma el gradient de qualsevol línia en el seu recíproc.

Suposant que f té inversa en un etorn d'un punt x i que la seva derivada en aquest punt és diferent de zero, es pot assegurar que la seva inversa és derivable al punt y=f(x) i que té una derivada donada per la fórmula anterior.

Demostració

Tenim una funció ${\displaystyle \,f(x)}$ i la seva funció inversa ${\displaystyle \,f^{-1}(x)}$. Per tant, es compleix que

${\displaystyle \,f[f^{-1}(x)]=x}$

Derivant a ambdós membres, i tenint en compte la regla de la cadena, obtenim

${\displaystyle f'[f^{-1}(x)]\cdot \left[f^{-1}\right]'(x)=1}$

D'on finalment arribem a l'equació que volíem obtenir

${\displaystyle [f^{-1}]'(x)={\frac {1}{f'[f^{-1}(x)]}}={\frac {1}{f'(x)\circ f^{-1}(x)}}}$

Exemple

• ${\displaystyle y=x^{2}}$ (per a valors positius de ${\displaystyle x}$) té com a inversa ${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {2x}{2x}}=1.}$

Al punt x=0, hi ha un problema: la gràfica de la funció arrel quadrada esdevé vertical, corresponent-li una tangent horitzontal a la funció ${\displaystyle x^{2}}$.

Propietats Addicionals

• Integrant aquesta relació s'obté

${\displaystyle {f^{-1}}(y)=\int {\frac {1}{f'(x)}}\,\cdot \,{dx}+c.}$

Això només es útil si la integral existeix. En particular cal que ${\displaystyle f'(x)}$ sigui diferent de zero al llarg del rang d'integració.

D'aquí es després que les funcions que tinguin derivada contínua tenen inversa a l'entorn de qualsevol punt on la derivada sigui diferent de zero. Això pot no ser veritat si la derivada no és contínua.

Aplicacions

Aquesta expressió té aplicació en determinar la derivada de funcions de les que es coneix la derivada de la seva inversa.

Derivada de la funció logaritme natural

Com que la funció logaritme natural és la inversa de la funció exponencial es té

${\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{e^{\ln(x)}}}}$

${\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}$

Derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques

Derivada del arcsinus

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}}}$

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}}$

Com que ${\displaystyle \cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$, substituint queda

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))}}}}$

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Derivada del arccosinus

${\displaystyle \arccos {\prime }(x)={\frac {1}{\cos '(\arccos(x))}}}$

${\displaystyle \arccos {\prime }(x)={\frac {1}{-\sin(\arccos(x))}}}$

Tenint en compte que ${\displaystyle \sin(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$

${\displaystyle \arccos {\prime }(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}}}$

${\displaystyle \arccos {\prime }(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Derivada del arctangent

${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{\tan '(\arctan(x))}}}$

Com que ${\displaystyle \tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}$ resulta

${\displaystyle \,\arctan '(x)=\cos ^{2}(\arctan(x))}$

Però com que ${\displaystyle \cos ^{2}(x)={\frac {1}{\tan ^{2}(x)+1}}}$ substituint

${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{\tan ^{2}(\arctan(x))+1}}}$

${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

Vegeu també

• Teorema de la funció inversa
• Teorema de la funció implícita