Corba integral

Integral de línia d'un camp escalar, f. L'àrea sota la corba C, traçada a la superfície definida per z = f(x,y), és el valor de la integral.

En matemàtiques, una corba integral és una corba paramètrica que representa una solució específica a una equació diferencial ordinària o sistema d'equacions.[1]

Nom

Les corbes integrals es coneixen amb altres noms, depenent de la naturalesa i la interpretació de l'equació diferencial o del camp vectorial. En física, les corbes integrals per a un camp elèctric o camp magnètic es coneixen com a línies de camp, i les corbes integrals per al camp de velocitat d'un fluid es coneixen com a línies de corrent. En els sistemes dinàmics, les corbes integrals d'una equació diferencial que governa un sistema s'anomenen trajectòries o òrbites.[2]

Definició

Suposem que F és un camp vectorial estàtic, és a dir, una funció de valor vectorial amb coordenades cartesianes (F1, F2 ,..., Fn), i que x(t) és una corba paramètrica amb coordenades cartesianes (x1(t), x2(t),... , xn(t)). Aleshores x(t) és una corba integral de F si és una solució del sistema autònom d'equacions diferencials ordinàries,

d x 1 d t = F 1 ( x 1 , , x n ) d x n d t = F n ( x 1 , , x n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}

Aquest sistema es pot escriure com una única equació vectorial,

x ( t ) = F ( x ( t ) ) . {\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}

Aquesta equació diu que el vector tangent a la corba en qualsevol punt x(t) al llarg de la corba és precisament el vector F(x(t)), i per tant la corba x(t) és tangent en cada punt al camp vectorial F.

Si un camp vectorial donat és continu de Lipschitz, aleshores el teorema de Picard-Lindelöf implica que existeix un flux únic per a poc temps.

Tres corbes integrals per al camp de pendent corresponent a l'equació diferencial dy / dx = x 2 − x − 2.

Exemples

Si l'equació diferencial es representa com un camp vectorial o un camp de pendent, aleshores les corbes integrals corresponents són tangents al camp en cada punt.[3][4]

Generalització a varietats diferenciables

Definició

Sigui M una varietat de Banach de classe C r amb r ≥ 2. Com és habitual, T M denota el feix tangent de M amb la seva projecció natural π M : T MM donat per

π M : ( x , v ) x . {\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}

Un camp vectorial a M és una secció transversal del paquet tangent T M, és a dir, una assignació a cada punt de la varietat M d'un vector tangent a M en aquest punt. Sigui X un camp vectorial a M de classe Cr−1 i sigui pM. Una corba integral per a X que passa per p en el temps t0 és una corba α: JM de classe Cr−1, definit en un interval obert J de la recta real R que conté t0, de manera que

α ( t 0 ) = p ; {\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}
α ( t ) = X ( α ( t ) )  per tot  t J . {\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ per tot }}t\in J.}

Referències

  1. «16.2: Line Integrals» (en anglès), 11-07-2016. [Consulta: 27 agost 2024].
  2. «What Are Integral Curves and Direction Fields Used for?» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].
  3. Weisstein, Eric W. «Integral Curve» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].
  4. «Integral Calculator: Step-by-Step Solutions - Wolfram|Alpha» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].