Clausura topològica

En un espai topològic ${\displaystyle (X,\tau )}$, la clausura o adherència d'un subconjunt ${\displaystyle E\subseteq X}$ és el conjunt:

${\displaystyle {\bar {E}}=\{x\in X\;|\;\forall \,{\mathcal {N}}(x):{\mathcal {N}}(x)\cap E\neq \emptyset \}}$

on ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ és el símbol d'un veïnat de x. Per tant, un punt de ${\displaystyle x\in X}$ pertany a la clausura d'un subconjunt si tot entorn del punt interseca el subconjunt. En este cas, ${\displaystyle x}$ es tracta d'un punt adherent de ${\displaystyle E}$.

Per a denotar l'adherència d'un subconjunt ${\displaystyle E}$, són d'ús comú les notacions ${\displaystyle {\bar {E}}}$, ${\displaystyle \operatorname {cl} E}$ i ${\displaystyle \operatorname {ad} E}$.

Per a un espai topològic ${\displaystyle (X,\tau )}$ i un subconjunt ${\displaystyle S}$, la clausura ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ satisfà les següents propietats:

• ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} S}$.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ és un conjunt tancat.
• Si ${\displaystyle C}$ és un conjunt tancat tal que ${\displaystyle S\subseteq C}$, aleshores ${\displaystyle \operatorname {cl} S\subseteq C}$.
• ${\displaystyle S}$ és tancat si i només si ${\displaystyle \operatorname {cl} S=S}$.
• Si ${\displaystyle S\subseteq T}$, aleshores ${\displaystyle \operatorname {cl} S\subseteq \operatorname {cl} T}$.
• La clausura és idempotent: ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} S)=\operatorname {cl} S}$.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=\operatorname {cl} S\cup \operatorname {cl} T}$.
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cap T)\subseteq \operatorname {cl} S\cap \operatorname {cl} T}$.

• Per a qualsevol espai topològic, ${\displaystyle \operatorname {cl} \emptyset =\emptyset }$ i ${\displaystyle \operatorname {cl} X=X}$.
• Amb la mètrica usual en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \operatorname {cl} (]a,b[)=[a,b]}$.
• Els nombres racionals i els irracionals són densos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle \operatorname {cl} \mathbb {Q} =\operatorname {cl} (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )=\mathbb {R} }$.
• En un espai topològic discret, ${\displaystyle \operatorname {cl} S=S}$.
• En la topologia trivial, ${\displaystyle \operatorname {cl} S=X}$ si ${\displaystyle S\neq \emptyset }$.
• En els espais de Hausdorff i en la topologia cofinita, si ${\displaystyle S}$ és finit, ${\displaystyle \operatorname {cl} S=S}$.

• Punt adherent
• Interior
• Frontera