Camp de Jacobi

En la geometria riemanniana, un camp de Jacobi és un camp vectorial al llarg d'una geodèsica ${\displaystyle \gamma }$ en una varietat riemanniana que descriu la diferència entre la geodèsica i una geodèsica "infinitesimament propera". En altres paraules, els camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica formen l'espai tangent a la geodèsica a l'espai de totes les geodèsiques. Reben el nom de Carl Jacobi.^[1]

Definicions i propietats:^[2]

Els camps de Jacobi es poden obtenir de la següent manera: Preneu una família de geodèsics d'un paràmetre llis ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ amb ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, doncs ^[3]

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

és un camp de Jacobi i descriu el comportament de les geodèsiques en un veïnatge infinitesimal d'una geodèsica determinada ${\displaystyle \gamma }$.

Un camp vectorial J al llarg d'una geodèsica ${\displaystyle \gamma }$ es diu que és un camp de Jacobi si compleix l'equació de Jacobi:

${\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,}$

on D denota la derivada covariant respecte a la connexió Levi-Civita, R el tensor de curvatura de Riemann, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}$ el camp vectorial tangent, i t és el paràmetre de la geodèsica. En una varietat Riemanniana completa, per a qualsevol camp de Jacobi hi ha una família de geodèsics ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ descrivint el camp (com en el paràgraf anterior).^[4]

L'equació de Jacobi és una equació diferencial ordinària lineal de segon ordre; en particular, els valors de ${\displaystyle J}$ i ${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$ en un moment de ${\displaystyle \gamma }$ determinar de manera única el camp de Jacobi. A més, el conjunt de camps de Jacobi al llarg d'una geodèsica donada forma un espai vectorial real de dimensió el doble de la dimensió de la varietat.

Com a exemples trivials de camps de Jacobi es poden considerar ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ i ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$. Aquests corresponen respectivament a les següents famílies de reparametritzacions: ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}$ i ${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}$.

Qualsevol camp de Jacobi ${\displaystyle J}$ es pot representar d'una manera única com una suma ${\displaystyle T+I}$, on ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ és una combinació lineal de camps de Jacobi i trivials ${\displaystyle I(t)}$ és ortogonal a ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, per a tot ${\displaystyle t}$. El camp ${\displaystyle I}$ llavors correspon a la mateixa variació de geodèsica que ${\displaystyle J}$, només amb parametritzacions modificades.