Àlgebra tensor

En matemàtiques, l'àlgebra tensor d'un espai vectorial V, denotada T(V) o T•(V), és l'àlgebra dels tensors de V (de qualsevol rang) amb la multiplicació essent el producte tensor. És l'àlgebra lliure sobre V, en el sentit de quedar-se adjunta al funtor oblidat des d'àlgebres fins a espais vectorials: és l'àlgebra "més general" que conté V, en el sentit de la propietat universal corresponent.^[1]

L'àlgebra tensorial és important perquè moltes altres àlgebres sorgeixen com àlgebres quocients de T(V). Aquests inclouen l'àlgebra exterior, l'àlgebra simètrica, l'àlgebra de Clifford, l'àlgebra de Weyl i l'àlgebra d'embolcall universal.^[2]

L'àlgebra tensorial també té dues estructures de coalgebra; una de senzilla, que no la converteix en una biàlgebra, però condueix al concepte de coàlgebra colliure, i una altra de més complicada, que produeix una biàlgebra, i es pot estendre donant una antípoda per crear una estructura d'àlgebra de Hopf.

Nota: en aquest article, se suposa que totes les àlgebres són unitals i associatives. La unitat es requereix explícitament per definir el coproducte.^[3]

Sigui V un espai vectorial sobre un camp K. Per a qualsevol nombre enter no negatiu k, definim que la potència tensor de V és el producte tensor de V amb si mateix k vegades: ^[4]

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.}$

És a dir, T ^k V consta de tots els tensors de V d'ordre k. Per convenció T'⁰V és el camp terrestre K (com un espai vectorial unidimensional sobre si mateix).

Aleshores construïm T(V) com la suma directa de T^kV per a k = 0,1,2,...

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

La multiplicació en T(V) ve determinada per l'isomorfisme canònic

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

donat pel producte tensor, que després s'estén per linealitat a tot T(V). Aquesta regla de multiplicació implica que l'àlgebra tensor T(V) és naturalment una àlgebra graduada amb T^kV com a subespai de grau k. Aquesta qualificació es pot estendre a una classificació Z afegint subespais ${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$ per a nombres enters negatius k.

La construcció es generalitza d'una manera senzilla a l'àlgebra tensor de qualsevol mòdul M sobre un anell commutatiu. Si R és un anell no commutatiu, encara es pot realitzar la construcció per a qualsevol R-R bimòdul M. (No funciona amb els mòduls R ordinaris perquè no es poden formar productes tensorials iterats).